كويز الرياضيات السنة الثانية ثنوي — mathematicsdivision — الجبر و التحليل

إذا كانت الدالة $u$ و $v$ قابلة للاشتقاق على مجال $D$ من $\mathbb{R}$، فما هي مشتقة مجموع الدالتين $(u + v)'$؟

• $\frac{u'}{v^2}$
• $u' \cdot v + u \cdot v'$
• $u' + v'$
• $\frac{u'v - u v'}{v^2}$

وفقًا لمبرهنة مشتقة مجموع دالتين، فإن مشتقة $(u + v)' = u' + v'$.

إذا كانت الدالة $v$ قابلة للاشتقاق على مجال $D$ من $\mathbb{R}$ و $v$ لا تنعدم على $D$، فما هي مشتقة $\left(\frac{1}{v}\right)'$؟

• $\frac{u'v - u v'}{v^2}$
• $\frac{u'}{v^2}$
• $\lambda u'$
• $-\frac{v'}{v^2}$

بموجب مبرهنة مشتقة مقلوب دالة، مشتقة $\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$.

إذا كانت الدالة $u$ و $v$ قابلتان للاشتقاق على مجال $D$ من $\mathbb{R}$، فما هي مشتقة جداء الدالتين $(u \cdot v)'$؟

• $\frac{u'}{v^2}$
• $u' + v'$
• $u' \cdot v + u \cdot v'$
• $\lambda u'$

وفقًا لمبرهنة مشتقة جداء دالتين، فإن مشتقة $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$.

إذا كانت $f(x) = u(ax + b)$، حيث $u$ قابلة للاشتقاق، و $a$ و $b$ عددان حقيقيان، فما هي مشتقة $f'(x)$؟

• $a u'(ax + b)$
• $u'(ax + b)$
• $a u'(x)$
• $u'(x) + b$

وفقًا لمبرهنة مشتقة الدالة $u(ax+b)$، فإن $f'(x) = a u'(ax + b)$.

ما هو الشرط الذي يجب تحققه لكي تكون الدالة $f$ متزايدة تمامًا على مجال $D_f$؟

• إذا كانت $f'$ سالبة تمامًا على المجال $D_f$
• إذا كانت $f'$ معدومة على المجال $D_f$
• إذا كانت $f'$ موجبة تمامًا (أو معدومة في قيم منعزلة) على المجال $D_f$
• إذا كانت $f'$ متناوبة الإشارة على المجال $D_f$

وفقًا لمبرهنة اتجاه تغير الدالة، إذا كانت $f'$ موجبة تمامًا على المجال $D_f$، فإن الدالة $f$ متزايدة تمامًا.

إذا كانت الدالة $f'(c) = 0$ وتغيرت إشارة $f'$ عند $c$، فماذا يمثل $f(c)$؟

• قيمة حدية محلية
• دالة ثابتة
• نقطة انعطاف
• دالة متزايدة

إذا انعدمت الدالة المشتقة $f'$ عند قيمة $c$ وغيرت إشارتها، فإن $f(c)$ تمثل قيمة حدية محلية.

لتكن $f$ دالة معرفة وقابلة للاشتقاق على المجال $[a; b]$. إذا كانت $f$ متزايدة تمامًا على هذا المجال، فماذا يمكننا أن نستنتج بالنسبة لقيم $f(x)$ لكل $x$ في المجال؟

• $f(b) \leq f(x) \leq f(a)$
• $f(x) \leq k$ حيث $k$ هو عنصر حاد من الأعلى
• $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$
• $f(x) \geq k$ حيث $k$ هو عنصر حاد من الأسفل

إذا كانت الدالة متزايدة تمامًا على المجال $[a; b]$, فإن $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$.

ما هو تعريف العنصر الحاد من الأعلى لدالة $f$ معرفة على مجال $D_f$؟

• هو عدد حقيقي $k$ يحقق $f(x) \geq k$ لكل $x$ في $D_f$
• هو عدد حقيقي $k$ يحقق $f(x) = k$ لكل $x$ في $D_f$
• هو عدد حقيقي $k$ يحقق $f(x) \leq k$ لكل $x$ في $D_f$
• هو قيمة حدية محلية للدالة

العنصر الحاد من الأعلى هو عدد حقيقي $k$ حيث $f(x) \leq k$ لكل $x$ في $D_f$.

إذا كانت الدالة $f$ فردية، فماذا يمكن أن نستنتجه حول تمثيلها البياني؟

• متناظر بالنسبة لمحور التراتيب.
• متناظر بالنسبة لنقطة الأصل.
• دوري.
• ليس له تناظر.

إذا كانت الدالة فردية، فإن تمثيلها البياني متناظر بالنسبة لنقطة الأصل.

ما هي معادلة الدالة التآلفية؟

• $f(x) = ax + b$
• $f(x) = x^2$
• $f(x) = x^3$
• $f(x) = \frac{1}{x}$

الدالة التآلفية هي من الشكل $f(x) = ax + b$.

ما هو مجال تعريف الدالة $\frac{1}{x}$؟

• ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[
• $\mathbb{R}$
• [0; +\infty[
• $\mathbb{R} \setminus \{0\}$

الدالة مقلوب غير معرفة عند 0.

ما هو نوع التناظر للدالة $f(x) = x^2$؟

• متناظرة بالنسبة لمحور الفواصل
• متناظرة بالنسبة لمحور التراتيب
• فردية
• ليس لها تناظر

الدالة $f(x) = x^2$ زوجية، وبالتالي، متناظرة بالنسبة لمحور التراتيب.

إذا كان لدينا دالة $f$ ودالة أخرى $g$. إذا كانت $f$ متزايدة و $g$ متزايدة، فماذا يمكننا أن نستنتجه حول اتجاه تغير $f+g$؟

• لا يمكن استنتاج اتجاه التغير.
• متناقصة.
• ثابتة.
• متزايدة.

إذا كانت كل من الدالتين متزايدة، فإن مجموع الدالتين سيكون متزايدًا.

ما هو تعريف متتالية حسابية؟

• متتالية حيث $u_{n+1} = u_n \times q$
• متتالية حيث $u_{n+1} = u_n + r$
• متتالية ثابتة
• متتالية هندسية

متتالية حسابية هي متتالية حيث الفرق بين كل حدين متتاليين ثابت، أي $u_{n+1} = u_n + r$.

ما هو مجموع الحدود المتتابعة لمتتالية حسابية؟

• $S = n \cdot u_0$
• $S = (n+1) \cdot \frac{u_0 + u_n}{2}$
• $S = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$
• $S = (n-1) \cdot u_0$

مجموع حدود متتالية حسابية يعطى بالعلاقة: $S = (n+1) \cdot \frac{u_0 + u_n}{2}$.