كويز الرياضيات السنة الثانية ثنوي — mathematicsdivision — الجبر و التحليل

إذا كانت الدالة $u$ و $v$ قابلتين للاشتقاق على مجال $D$، فما هي مشتقة مجموع الدالتين $(u + v)'$؟

• $(u \cdot v)'$
• $u' + v'$
• $u' \cdot v + u \cdot v'$
• $\frac{u'v - u v'}{v^2}$

مشتقة مجموع دالتين قابلة للاشتقاق على مجال $D$ هي مجموع مشتقتي الدالتين، أي $u' + v'$.

إذا كانت الدالة $v$ قابلة للاشتقاق على مجال $D$ و $v$ لا تنعدم على $D$، فما هي مشتقة مقلوب الدالة $(\frac{1}{v})'$؟

• $\frac{u'v - u v'}{v^2}$
• $\frac{1}{v'}$
• $-\frac{v'}{v^2}$
• $u' \cdot v + u \cdot v'$

مشتقة مقلوب دالة قابلة للاشتقاق هي $- \frac{v'}{v^2}$.

إذا كانت الدالة $u$ و $v$ قابلتين للاشتقاق على مجال $D$، فما هي مشتقة جداء الدالتين $(u \cdot v)'$؟

• $\frac{u'v - u v'}{v^2}$
• $u' + v'$
• $u' \cdot v + u \cdot v'$
• $-\frac{v'}{v^2}$

مشتقة جداء دالتين قابلة للاشتقاق هي $u' \cdot v + u \cdot v'$.

إذا كانت الدالة $u$ و $v$ قابلتين للاشتقاق على مجال $D$ و $v$ لا تنعدم على $D$، فما هي مشتقة نسبة الدالتين $(\frac{u}{v})'$؟

• $u' + v'$
• $u' \cdot v + u \cdot v'$
• $\frac{u'v - u v'}{v^2}$
• $-\frac{v'}{v^2}$

مشتقة نسبة دالتين قابلة للاشتقاق هي $\frac{u'v - u v'}{v^2}$.

إذا كانت الدالة $f(x) = u(ax + b)$، حيث $u$ قابلة للاشتقاق، فما هي مشتقة الدالة $f'(x)$؟

• $u'(ax + b)$
• $a u'(ax + b)$
• $a u'(x)$
• $u'(x)$

إذا كانت $f(x) = u(ax + b)$, فإن $f'(x) = a u'(ax + b)$.

إذا كانت الدالة $f$ متزايدة تماما على المجال $D_f$، فماذا يمكننا أن نستنتجه حول إشارة $f'$؟ (مع إهمال قيم منعزلة)

• $f'$ سالبة تماما
• $f'$ معدومة على $D_f$
• $f'$ موجبة تماما
• $f'$ غير محددة

إذا كانت الدالة متزايدة تماما، فإن مشتقتها موجبة تماما على المجال.

متى نقول أن الدالة $f$ رتيبة تماما على المجال $D_f$؟

• عندما تكون $f'$ معدومة على $D_f$
• عندما تكون $f$ متزايدة تماما أو متناقصة تماما على $D_f$
• عندما تكون $f'$ غير معرفة على $D_f$
• عندما تكون $f$ ثابتة على $D_f$

الدالة تكون رتيبة تماما إذا كانت متزايدة تماما أو متناقصة تماما على المجال.

إذا انعدمت الدالة المشتقة $f'$ عند قيمة $c$ من المجال $I$ وغيرت إشارتها، ماذا يمكننا القول عن $f(c)$؟

• $f(c)$ قيمة حدية محلية
• $f(c) = 0$
• $f'(c) = 0$
• $f$ ثابتة عند $c$

إذا انعدمت $f'$ وغيرت إشارتها عند $c$, فإن $f(c)$ قيمة حدية محلية.

إذا كانت الدالة $f$ معرفة وقابلة للاشتقاق على المجال $[a; b]$، وكانت متزايدة تماما، فما العلاقة بين $f(a)$, $f(x)$, و $f(b)$ لأي $x$ في المجال؟

• $f(b) \leq f(x) \leq f(a)$
• $f(a) \leq f(b) \leq f(x)$
• $f(x) \leq f(a) \leq f(b)$
• $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$

إذا كانت الدالة متزايدة، فإن $f(a)$ هو الأصغر و $f(b)$ هو الأكبر في المجال.

إذا كان لدينا دالة $f$ على المجال $D_f$، ما هو تعريف العنصر الحاد من الأسفل (Minorant) للدالة $f$؟

• عدد حقيقي $k$ بحيث $f(x) \leq k$ لكل $x$ في $D_f$
• عدد حقيقي $k$ بحيث $f(x) \geq k$ لكل $x$ في $D_f$
• القيمة الحدية الصغرى للدالة
• القيمة الحدية الكبرى للدالة

العنصر الحاد من الأسفل هو عدد حقيقي يمثل الحد الأدنى لقيم الدالة على المجال.