كويز الرياضيات السنة الثالثة ثنوي — علوم تجريبية — الأعداد المركبة الشكل الجبري

ليكن z عددا مركبا حيث z = 3 + 4i. ما هي طويلة العدد المركب z؟

• 5
• 7
• 1
• 25

طويلة العدد المركب z = x + iy هي الجذر التربيعي لـ (x^2 + y^2). هنا الطويلة تساوي الجذر التربيعي لـ (3^2 + 4^2) = الجذر التربيعي لـ (9 + 16) = الجذر التربيعي لـ 25 = 5.

ما هو مرافق العدد المركب z = 2 - 5i؟

• 2 - 5i
• -2 + 5i
• 2 + 5i
• -2 - 5i

مرافق العدد المركب z = x + iy هو x - iy. بتطبيق ذلك على z = 2 - 5i، نحصل على 2 + 5i.

إذا كان z = 1 + i، فما هو الشكل الأسي للعدد z؟

• sqrt(2) * e^(i * pi/4)
• sqrt(2) * e^(i * pi/2)
• 2 * e^(i * pi/4)
• e^(i * pi/4)

طويلة z هي sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2)، وعمدته هي pi/4 لأن cos(theta) = 1/sqrt(2) و sin(theta) = 1/sqrt(2). إذن الشكل الأسي هو sqrt(2) * e^(i * pi/4).

ما هي طبيعة التحويل الذي عبارته المركبة z' = z + (1 + i)؟

• دوران
• تحاكي
• انسحاب
• تشابه مباشر

العبارة المركبة للانسحاب هي z' = z + b. بما أن معامل z هو 1، فإن التحويل هو انسحاب شعاعه لاحقته b = 1 + i.

للمعادلة z^2 + 1 = 0 في مجموعة الأعداد المركبة C، ما هي حلولها؟

• 1 و -1
• i و -i
• 0
• لا يوجد حل

المعادلة z^2 = -1، وحلولها في C هي i و -i لأن i^2 = -1 و (-i)^2 = i^2 = -1.

إذا كانت المتتالية (Un) حسابية حدها الأول U0 = 2 وأساسها r = 3، فما هي قيمة الحد U4؟

• 11
• 14
• 8
• 5

عبارة الحد العام للمتتالية الحسابية هي Un = U0 + n*r. إذن U4 = 2 + 4*3 = 2 + 12 = 14.

إذا كانت المتتالية (Vn) هندسية حدها الأول V0 = 3 وأساسها q = 2، فما هو مجموع الحدود V0 + V1 + V2؟

• 18
• 21
• 15
• 12

V0 = 3، V1 = 3 * 2 = 6، V2 = 6 * 2 = 12. المجموع هو 3 + 6 + 12 = 21.

ما هي نهاية المتتالية (Un) حيث Un = (2n + 1) / n عندما يؤول n إلى زائد مالانهاية؟

• 0
• 1
• 2
• زائد مالانهاية

عندما يؤول n إلى زائد مالانهاية، نهاية (2n + 1) / n هي نهاية أعلى درجة في البسط على أعلى درجة في المقام، أي 2n / n = 2.

إذا كانت المتتالية (Un) متزايدة ومحدودة من الأعلى، فهي:

• متباعدة
• متقاربة
• ثابتة
• ليس لها نهاية

حسب مبرهنة التقارب، كل متتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى هي متتالية متقاربة.

ما هي لاحقة مرجح النقطتين A(zA) و B(zB) بالمعاملات 1 و 1؟

• (zA + zB) / 2
• zA + zB
• zA - zB
• (zA - zB) / 2

لاحقة مرجح جملة مثقلة (A, a) و (B, b) هي (a*zA + b*zB) / (a + b). هنا a=1 و b=1، فتصبح (zA + zB) / 2.

في التشابه المباشر، ما الذي يحدث للزوايا الموجهة؟

• تتغير
• تضرب في نسبة التشابه
• تحافظ على قيمتها
• تصبح قائمة دائما

من تعريف التشابه المباشر، فإنه يحافظ على الزوايا الموجهة، أي لا تتغير قيمتها.

ما هي قيمة i^4 في مجموعة الأعداد المركبة؟

• i
• -1
• 1
• -i

i^2 = -1، إذن i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1.

إذا كان (Un) متتالية هندسية أساسها q = 0.5، فما هي نهايتها عندما يؤول n إلى زائد مالانهاية؟

• 0
• 1
• زائد مالانهاية
• ناقص مالانهاية

لأي متتالية هندسية أساسها q يحقق -1 < q < 1، فإن نهايتها عندما يؤول n إلى زائد مالانهاية هي 0.

ما هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 و 18؟

• 2
• 3
• 6
• 9

قواسم 12 هي {1, 2, 3, 4, 6, 12} وقواسم 18 هي {1, 2, 3, 6, 9, 18}. أكبر قاسم مشترك هو 6.

خاصية P(n) يتم إثباتها بالبرهان بالتراجع من خلال خطوتين هما:

• التحقق والفرضية والبرهان
• الاشتقاق والتكامل
• القسمة والضرب
• التعويض فقط

البرهان بالتراجع يعتمد على التحقق من صحة الخاصية من أجل الحد الأول، ثم فرض صحتها من أجل n وإثبات صحتها من أجل n + 1.